题目内容

已知10件不同的产品中共有3件次品，现对它们进行一一测试，直到找出所有3件次品为止．
（1）求恰好在第5次测试时3件次品全部被测出的概率；
（2）记恰好在第k次测试时3件次品全部被测出的概率为f（k），求f（k）的最大值和最小值．
分析：（1）根据题意，若恰好在第5次测试时3件次品全部被测出，则第5次取出第3件次品，前4次中有2次是次品，2次是正品；有排列、组合数公式可得其情况数目，易得从10件产品中顺序取出5件的情况数目，由等可能事件的概率，计算可得答案；
（2）根据题意，分析可得k的范围是3≤k≤9，进而分3≤k≤6、7≤k≤9时讨论，由等可能事件计算可得f（k），比较大小可得答案．
解答：解：（1）若恰好在第5次测试时3件次品全部被测出，则第5次取出第3件次品，前4次中有2次是次品，2次是正品；
则有A31C72A44种情况，从10件产品中顺序取出5件，有A105种情况，
则第5次测试时3件次品全部被测出的概率P=
A
1
3
C
2
7
A
4
4
A
5
10
=
1
20
，
（2）根据题意，分析可得k的范围是3≤k≤9，
当3≤k≤6时，若恰好在第k次测试时3件次品全部被测出，则第k次取出第3件次品，前k-1次中有2次是次品，k-3次是正品；而从10件产品中顺序取出k件，有A10k种情况，则f(k)=
A
1
3
C
k-3
7
A
k-1
k-1
A
k
10
=
1
240
(k2-3k+2)，
则f（3）=
1
120
，f（4）=
1
40
，f（5）=
1
20
，f（6）=
1
12
；
当k=7时，即恰好在第7次测试时3件次品全部被测出，有两种情况，一是第7次取出第3件次品，前6次中有2次是次品，4次是正品；二是前7次没有取出次品，此时也可以测出三件次品，
则f(7)=
A
1
3
C
4
7
A
6
6
+
A
7
7
A
7
10
=
2
15
；
当k=8时，即恰好在第7次测试时3件次品全部被测出，有两种情况，一是第8次取出第3件次品，前7次中有2次是次品，5次是正品；二是前7次恰有一次次品，第8次取出为合格品，
则f(8)=
A
1
3
C
5
7
A
7
7
+
A
1
7
C
1
3
A
7
7
A
8
10
=
7
30
；
当k=9时，即恰好在第9次测试时3件次品全部被测出，有两种情况，一是第9次取出第3件次品，前8次中有2次是次品，6次是正品；二是前8次取出1次次品，第9次取出第2件次品，
f(9)=
A
1
3
C
6
7
A
8
8
+
A
1
7
C
2
3
A
8
8
A
9
10
=
7
15
．
故f(k)min=f(3)=
1
120
，f(k)max=f(9)=
7
15
．
点评：本题考查概率的计算，注意（2）中，当7≤k≤9时，计算f（k）时，需要分2种情况讨论．
练习册系列答案
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11、已知10件不同产品中有4件是次品，现对它们进行一一测试，直至找出所有4件次品为止．
（1）若恰在第5次测试，才测试到第一件次品，第十次才找到最后一件次品，则这样的不同测试方法数是多少？
（2）若恰在第5次测试后，就找出了所有4件次品，则这样的不同测试方法数是多少？

已知10件不同产品有4件是次品,现对它们进行一一测试,直至找到所有次品为止.

(1)若恰好在第5次测试,才测试到第一件次品,第十次才找到最后一件次品的不同测试方法数是多少?

(2)若恰好在第五次测试后,就找出了所有4件次品,则这样的不同测试方法数是多少?

已知10件不同产品中有4件是次品，现对它们进行一一测试，直到选出所有4件次品为止。

（1）若恰在第5次测试，才测试到第一件次品，第十次才找到最后一件次品的不同测试方法数是多少？

（2）若恰在第5次测试后，就找出了所有4件次品，则这样的不同测试方法数是多少？

 
已知10件不同的产品中共有3件次品，现对它们进行一一测试，直到找出所有3件次品为止．
（1）求恰好在第5次测试时3件次品全部被测出的概率；
（2）记恰好在第k次测试时3件次品全部被测出的概率为f（k），求f（k）的最大值和最小值．

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