Question

【题目】已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn= an+n﹣3．
（1）求证：数列{an﹣1}是等比数列，并求{an}的通项公式；
（2）令cn=log3（a1﹣1）+log3（a2﹣1）+…+log3（an﹣1），对任意n∈N*， + +…+ ＜k都成立，求k的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解： ① ②

①﹣②，得 ，即an=3an﹣1﹣2，

∴an﹣1=3（an﹣1﹣1），即 ，

由 可得，a1=4

∴{an﹣1}是以3为首项，3为公比的等比数列，则 ，

∴

（2）解：log3（an﹣1）=n，

∴ ，

恒成立，

∴k≥2，即kmin=2

【解析】（1）根据数列递推公式得到an=3an﹣1﹣2，即可得到{an﹣1}是以3为首项，3为公比的等比数列，问题得以解决；（2）根据对数的运算性质和等差数列的求和公式，得到cn= ，再根据裂项求和恒成立得到k≥2，问题得以解决．
【考点精析】掌握等比数列的通项公式（及其变式）是解答本题的根本，需要知道通项公式：．