题目内容

设函数fn（x）=xn+x﹣1，其中n∈N*，且n≥2，给出下列三个结论：

①函数f3（x）在区间（，1）内不存在零点；

②函数f4（x）在区间（，1）内存在唯一零点；

③设xn（n＞4）为函数fn（x）在区间（，1）内的零点，则xn＜xn+1．

其中所有正确结论的序号为　　．

考点：

命题的真假判断与应用；函数的零点．

专题：

函数的性质及应用．

分析：

①确定函数的单调性，利用零点存在定理，进行验证；

②确定函数的单调性，利用零点存在定理，进行验证；

③函数在（，1）上是单调增函数，fn+1（x）＜fn（x），即可得到结论．

解答：

解：①f3（x）=x3+x﹣1，∵f3′（x）=3x2+1＞0，∴函数在R上是单调增函数，∵f3（）=﹣＜0，f3（1）=1＞0，∴函数f3（x）在区间（，1）内存在零点，即①不正确；

②f4（x）=x4+x﹣1，∵f4′（x）=4x3+1，∵x∈（，1），∴f4′（x）＞0，∴函数在（，1）上是单调增函数，∵f4（）=﹣＜0，f4（1）=1＞0，∴函数f4（x）在区间（，1）内存在零点，即②正确；

③fn（x）=xn+x﹣1，∵fn′（x）=nxn﹣1+1，∵x∈（，1），∴fn′（x）＞0，∴函数在（，1）上是单调增函数，∵fn+1（x）﹣fn（x）=xn（x﹣1）＜0，∴函数在（，1）上fn+1（x）＜fn（x），∵xn（n＞4）为函数fn（x）在区间（，1）内的零点，∴xn＜xn+1，即③正确

故答案为：②③

点评：

本题考查的知识点是零点存在定理，导数法判断函数的单调性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．

练习册系列答案
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设函数fn（x）=xn+x-1，其中n∈N*，且n≥2，给出下列三个结论：
①函数f3（x）在区间（
1
2
，1）内不存在零点；
②函数f4（x）在区间（
1
2
，1）内存在唯一零点；
③设xn（n＞4）为函数fn（x）在区间（
1
2
，1）内的零点，则xn＜xn+1．
其中所有正确结论的序号为
②③
②③
．
设函数fn（x）=xn+bx+c（n∈N+，b，c∈R）
（1）设n＞2，b=1，c=-1，证明：fn（x）在区间（
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，1）内存在唯一的零点；
（2）设n为偶数，|fn（-1）|≤1，|fn（1）|≤1，求3b+c的最小值和最大值；
（3）设n=2，若对任意x1，x2∈[-1，1]，有|f2（x1）-f2（x2）|≤9，求b的取值范围．
设函数fn（x）=1+
x
1!
+
x2
2!
+…+
xn
n!
，n∈N*．
（1）证明：e-xf3（x）≤1；
（2）证明：当n为偶数时，函数y=fn（x）的图象与x轴无交点；当n为奇数时，函数y=fn（x）的图象与x轴有且只有一个交点．
设函数fn（x）=xn+x-1，其中n∈N*，且n≥2，给出下列三个结论：
①函数f3（x）在区间（
1
2
，1）内不存在零点；
②函数f4（x）在区间（
1
2
，1）内存在唯一零点；
③设xn（n＞4）为函数fn（x）在区间（
1
2
，1）内的零点，则xn＜xn+1．
其中所有正确结论的序号为______．

设函数fn（x）=xn+bx+c（n∈N+，b，c∈R）。
（1）设n≥2，b=1，c=-1，证明：fn（x）在区间内存在唯一的零点；
（2）设n=2，若对任意x1，x2∈[-1，1]，有|f2（x1）-f2（x2）|≤4，求b的取值范围；
（3）在（1）的条件下，设xn是fn（x）在内的零点，判断数列x2，x3，…，xn…的增减性。