Question

已知函数f（x）=ax²+bx+1（a，b为实数），x∈R，F（x）=

f(x)(x＞0) -f(x)(x＜0)

（1）若f（-1）=0且函数f（x）的值域为[0，+∞），求F（x）的表达式；
（2）设mn＜0，m+n＞0，a＞0，且f（x）为偶函数，判断F（m）+F（n）能否大于零？并说明理由．

Answer 1

（1）∵f（-1）=0∴a-b+1=0
又x∈R，f（x）≥0恒成立，
∴

a＞0 △=b2-4a=0

    
∴b²-4（b-1）=0∴a=1，b=2
∴f（x）=x²+2x+1
∴F(x)=

(x+1)2，x＞0 -(x+1)2，x＜0

（2）∵f（x）为偶函数，
∴f（x）=ax²+1
∴F(x)=

ax2+1，x＞0 -ax2-1，x ＜0

∵mn＜0设m＞n，则m＞0，n＜0
又m+n＞0
∴m＞-n＞0
∴|m|＞|-n|，
∴F（m）+F（n）=f（m）-f（n）=am²+1-（an²+1）=a（m²-n²）＞0
∴F（m）+F（n）能大于零．