Question

【题目】在平面直角坐标系中,以原点为极点, 轴正半轴为极轴,取相同的单位长度建立极坐标系,已知曲线,直线.

(1)将曲线上所有点的横坐标、纵坐标分别伸长为原来的2倍、倍后得到曲线,请写出直线,和曲线的直角坐标方程；

(2)若直线经过点且与曲线交于点,求的值.

Answer 1

【答案】（1），；（2）2

【解析】分析：（1）根据极坐标和直角坐标系间的转化公式及变换公式可得所求的方程．（2）由题意可求得直线的参数方程，将其代入曲线的方程消元后得到关于参数的二次方程，然后根据参数的几何意义可得所求．

详解：（1）将代入，可得，

∴直线的直角坐标方程为．

设曲线上任一点坐标为，则，所以，

代入得，

所以的方程为．

（2）直线：的倾斜角为，

由题意可知直线的参数方程为（为参数），

把（为参数）代入曲线的方程整理得．

设点对应的参数分别为，

则，

由直线参数的几何意义可知．