Question

已知圆C：x²+y²+4x=0，相互垂直的两条直线l₁、l₂都过点A（t，0）．
（Ⅰ）若圆心为M（，m）的圆和圆C外切且与直线x=2相切，求圆M的方程；
（Ⅱ）若l₁、l₂截圆C所得的弦长均为，求t的值．

Answer 1

【答案】分析：（I）确定圆心与半径，利用圆心为M（，m）的圆和圆C外切且与直线x=2相切，建立方程组，即可求圆M的方程；
（Ⅱ）设出直线方程，利用l₁、l₂截圆C所得的弦长均为，建立方程，即可求t的值．
解答：解：圆C：x²+y²+4x=0，即（x+2）²+y²=4，圆心为（-2，0），半径为2．…（1分）
（Ⅰ）设圆M的方程为…（2分）
依题意得…（4分）
解得或…（6分）
∴圆M的方程为或．…（7分）
（Ⅱ）显然，l₁、l₂的斜率都是存在的，设l₁：y=k（x-t），则…（8分）
则由题意，得圆心到直线l₁、l₂的距离均为=…（9分）
∴，…（11分）
解得|k|=1…（12分）
即|t+2|=1，解得t=-3或-1  …（14分）
点评：本题考查圆的标准方程，考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．