Question

已知函数f（x）=log_a（2-x）+log_a（x+2）（0＜a＜1）
（1）求函数f（x）的定义域；  
（2）求函数f（x）的零点；
（3）若函数f（x）的最小值为-2，求a的值．

Answer 1

分析：（1）利用对数函数有意义的条件，可得结论；
（2）令f（x）=0，解方程，可得函数f（x）的零点；
（3）确定f（x）_min=log_a4，结合函数f（x）的最小值为-2，即可求a的值．

解答：解：（1）要使函数有意义：则有

2-x＞0 x+2＞0

，解之得：-2＜x＜2，…（2分）
所以函数的定义域为：（-2，2）…（3分）
（2）令f（x）=log_a（2-x）+log_a（x+2）=0，得-x²+4=1，即x=±

3

…（5分）
∵±

3

∈(-2，2)，∴函数f（x）的零点是±

3

…（6分）
（3）函数可化为：f（x）=log_a（2-x）+log_a（x+2）=loga(-x2+4)（0＜a＜1）
∵-2＜x＜2，∴0＜-x²+4≤4…（7分）
∵0＜a＜1，loga(-x2+4)≥loga4，即f（x）_min=log_a4…（8分）
由log_a4=-2，得a^-2=4，∴a=

1

2

…（9分）

点评：本题考查对数函数的性质，考查函数的零点，考查学生的计算能力，属于中档题．