Question

已知函数f(x)=(2x²-4ax)lnx+x²(a>0).

(1)求函数f(x)的单调区间.

(2)对∀x∈[1,+∞),不等式(2x-4a)lnx>-x恒成立,求a的取值范围.

Answer 1

 (1)f′(x)=(2x²-4ax)+(4x-4a)lnx+2x

=4x-4a+(4x-4a)lnx=4(x-a)(lnx+1)(x>0),

当0<a<时,

f(x),f′(x)在(0,+∞)上随x的变化情况如下:

x	(0,a)	a
f′(x)	+	0	-	0	+
f(x)	↗	极大值	↘	极小值	↗

所以f(x)在(0,a)和上单调递增;在上单调递减.

当a=时,f′(x)≥0,f(x)在(0,+∞)上单调递增.

当a>时,

f(x),f′(x)在(0,+∞)上随x的变化情况如下:

x				a	(a,+∞)
f′(x)	+	0	-	0	+
f(x)	↗	极大值	↘	极小值	↗

所以,f(x)在和(a,+∞)上单调递增;

在上单调递减.

(2)方法一:因为x≥1,

所以由(2x-4a)lnx>-x,得(2x²-4ax)lnx+x²>0,

即函数f(x)>0对x≥1恒成立.

由(1)可知,

当0<a≤时,f(x)在[1,+∞)上单调递增,

则f(x)_min=f(1)>0成立,故0<a≤.

当<a≤1时,f(x)在[1,+∞)上单调递增,

f(x)_min=f(1)=1>0恒成立,符合要求.

当a>1时,f(x)在(1,a)上单调递减,在(a,+∞)上单调递增,

则f(x)_min=f(a)>0,

即(2a²-4a²)lna+a²>0,1<a<.

综上所述,0<a<.

方法二:当x=1时,a>0.

当x>1时,由(2x-4a)lnx>-x得,4a<2x+对∀x∈(1,+∞)恒成立.

设g(x)=2x+,则

g′(x)=2+=

=.

由g′(x)=0,得x=或x=.

g(x),g′(x)在(1,+∞)上随x的变化情况如下:

x	(1,)		(,+∞)
g′(x)	-	0	+
g(x)	↘	极小值	↗

g(x)_min=g()=4,

所以4a<4,即a<.

综上所述,0<a<.