Question

已知圆O：x²+y²=1，把圆O上各点的横坐标伸长到原来的

2

倍（纵坐标不变）得到曲线E．
（1）求曲线E的方程并指出曲线E是什么曲线；
（2）设F（-1，0），过点F且不与坐标轴垂直的直线交曲线E于A、B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于G点，求G点横坐标的取值范围．

Answer 1

分析：（1）设曲线E上任一点坐标为P'（x'，y'），相应于圆O上的点P（x，y），由题意

x′= 2 x y′=y

，解出x，y，代入圆的方程即可．
（2）设直线AB的方程为y=k（x+1）（k≠0）．与椭圆方程联立得到根与系数的关系，利用中点坐标公式可得线段AB的中点坐标，进而得到线段AB的垂直平分线的方程，再利用二次函数的单调性和反比例函数的单调性即可得出G点横坐标的取值范围．

解答：解：（1）设曲线E上任一点坐标为P'（x'，y'），相应于圆O上的点P（x，y），
由题意

x′= 2 x y′=y

，∴

x= 2 2 x′ y=y′

，代入曲线O，得

(x′)2

2

+(y′)2=1
∴曲线E的方程为

x2

2

+y2=1，曲线E是椭圆．
（2）设直线AB的方程为y=k（x+1）（k≠0）．
由

x2 2 +y2=1 y=k(x+1)

得（2k²+1）x²+4k²x+2k²-2=0，
∵F（-1，0）为椭圆E内一点，∴不论k为何值，直线与椭圆必有两个交点，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB中点M(x0，y0)，x1+x2=-

4k2

2k2+1

．
∴x0=

x1+x2

2

=-

2k2

2k2+1

，y0=k(x0+1)=

k

2k2+1

，
∴线段AB的垂直平分线方程为y-y0=-

1

k

(x-x0)，
令y=0，得x=x0+ky0=-

2k2

2k2+1

+

k2

2k2+1

=-

k2

2k2+1

=-

1

2

+

1

4k2+2

，
∵k≠0，k∈R，∴-

1

2

＜x＜0．
∴G点横坐标的取值范围是(-

1

2

，0)．

点评：熟练掌握椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、线段的垂直平分线的性质、中点坐标公式、二次函数的单调性等是解题的关键．