Question

已知函数f(x)=1-2sin2(x-

θ

2

)+sin(2x-θ)，θ∈(0，

π

2

)是定义在R 上的奇函数．
（1）求θ的值和函数f（x）的单调递减区间；
（2）若三角形ABC三个内角A、B、C的对应边分别为a、b、c，△ABC的面积等于函数f（A）的最大值，求f（A）取最大值时a的最小值．

Answer 1

分析：（1）首先化简函数f（x），根据奇函数可知f（0）=0，以及θ的范围求出θ的值；由正弦函数的单调减区间，求得f（x）的单调减区间；
（2）先利用正弦的值域求得f（A）≤

2

，当A=

π

4

时等于三角形的面积，然后根据S_△ABC=

1

2

bcsinA，求得bc=4，进而由余弦定理和放缩求得a 的最小值．

解答：解：（1）f(x)=1-2sin2(x-

θ

2

)+sin(2x-θ)=cos(2x-θ)+sin(2x-θ)=

2

sin(2x-θ+

π

4

)（2分）
∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（-x）=-f（x），易知f（0）=0，由f(0)=

2

sin(

π

4

-θ)=0，∴sin(

π

4

-θ)=0，∵θ∈(0，

π

2

)，∴

π

4

-θ=0，∴θ=

π

4

．（4分）
此时f(x)=

2

sin(2x-

π

4

+

π

4

)=

2

sin2x为R上的奇函数，∴θ=

π

4

符合题意（5分）
又由2kπ+

π

2

≤2x≤2kπ+

3π

2

，k∈Z，得kπ+

π

4

≤x≤kπ+

3π

4

，k∈Z，
∴函数f（x）的单调递减区间为[kπ+

π

4

，kπ+

3π

4

]，(k∈Z)（7分）
（2）f(A)=

2

sin2A≤

2

 (当sin2A=1，即A=

π

4

时取等号)，
∴当A=

π

4

时，S△ABC=f(A)max=

2

，（9分）又S△ABC=

1

2

bcsinA=

1

2

bcsin

π

4

=

2

4

bc=

2

，∴bc=4，（10分）
由余弦定理可以知道a2=b2+c2-2bccosA=b2+c2-2bccos

π

4

≥2bc-

2

bc=4(2-

2

)，（12分）
∴a≥2

2- 2

 (当且仅当b=c时取等号)．
∴a的最小值是2

2- 2

（14分）

点评：本题考查了三角函数的最值和单调性，对于（2）问，注意放缩和余弦定理的运用，本题综合性强，属于中档题．