Question

已知函数f(x)＝ax³＋2x²，其中a＞0

(Ⅰ)当a＝3时，求过点(，0)且与曲线y＝f(x)(x＞0)相切的直线方程

(Ⅱ)若f(x)在区间[－1，1]上的最小值为一2，求a的值．

Answer 1

答案：
解析：

(Ⅰ)解：当a＝3时f(x)＝x3＋2x2f(x)＝3x2＋4x， 　　则曲线y＝f(x)(x＞0)在点(x0f(x0))处的切线方程为 　　　　3分 　　又x＞0且切线过点 　　从而有 　　解得，(舍去) 　　故所求的切线方程为7x－y－4＝0　　6分 　　(Ⅱ)解：令 　　解得：　　7分 　　当时，即0＜a≤4时，f(x)在[－1，0]上单调递减，在[0，1]上单调递增 　　因为f(x)在区间[－1，1]上的最小值只可能在x＝0取到， 　　f(0)＝0，与f(x)在区间[－1，1]上的最小值一2矛盾，所以无解．　　9分 　　当时，即a＞4时f(x)在[－1，－]上增，在[－，0]上单调递减，在[0，1]上 　　单调递增 　　f(x)在区间[－1，I]上的最小值只可能在x＝－1或x＝0时取到，又 　　所以f(x)在区间[－1，1]上的最小值　　11分 　　即a＝12 　　综上所述，当f(x)在[－1，1]上的最小值为－2时，a的值为12　　12分