Question

对于二项式（1-x）¹⁰，求：
（1）求展开式中的二项式系数和；
（2）展开式的中间项是第几项？写出这一项；
（3）求展开式中除常数项外，其余各项的系数和．

Answer 1

（1）对于二项式（1-x）¹⁰，展开式中的二项式系数和为

C

010

+

C

110

+

C

210

+…+

C

1010

=2¹⁰=1024．
（2）此展开式共有11项，它的中间项是第6项，为 T₆=

C

510

•（-x）⁵=-252x⁵．
（3）设二项式（1-x）¹⁰ =a₀+a₁x+a₂x²+…+a₁₀x¹⁰，
令x=1，可得 a₀+a₁+a₂+…+a₁₀=0，
令x=0，可得a₀=1，∴a₁+a₂+…+a₁₀=-1，即 展开式中除常数项外，其余各项的系数和为-1．