Question

对于二项式（1-x）¹⁹⁹⁹，有下列四个命题：
①展开式中T₁₀₀₀=-C₁₉₉₉¹⁰⁰⁰x⁹⁹⁹；  
 ②展开式中非常数项系数和是1；
③展开式中系数最大的项是第1000项和第1001项；
④当x=2000时，（1-x）¹⁹⁹⁹除以2000的余数是1．其中正确命题的序号是    ．

Answer 1

【答案】分析：利用二项式项的公式T_r+1=C_n^ra^n-rb^r，及二项式系数的性质对四个命题逐一判断，判断出正确命题．
解答：解：对于二项式（1-x）¹⁹⁹⁹，二项式项的公式T_r+1=C_n^r1^n-r（-1）^r，
对于命题①，T₁₀₀₀=C₁₉₉₉⁹⁹⁹1¹⁰⁰⁰（-x）⁹⁹⁹，=-C₁₉₉₉⁹⁹⁹x⁹⁹⁹，故此命题不正确；
对于命题②展开式中非常数项系数和是-1，故命题不正确；
对于命题③展开式中系数最大的项是第1000项和第1001项不正确，因为相邻二项一正一负，故不可能同时是系数最大项；
对于命题当x=2000时，（1-x）¹⁹⁹⁹除以2000的余数是1是正确的，因为展开式中不含有2000的项是1，故当x=2000时，（1-x）¹⁹⁹⁹除以2000的余数是1是正确的．
故答案为：④．
点评：本题考查二项式系数的性质，解题的关键是熟练掌握二项式系数的性质以及二项式展开式的项的公式，由这些知识对四个命题进行判断，本题考查了运用知识进行推理论证的能力．