Question

已知函数f(x)=

ax+b

1+x2

是定义在（-1，1）上的奇函数，且f(

1

2

)=

2

5

．
（1）确定函数f（x）的解析式；
（2）判断并证明f（x）在（-1，1）的单调性．

Answer 1

分析：（1）由f（-x）=-f（x）可求得b=0，又f（

1

2

）=

2

5

，可求得，从而可求得函数f（x）的解析式；
（2）在（-1，1）上任取两个值x₁，x₂，且x₁＜x₂．再作差f（x₂）-f（x₁）化积，判断乘积的符号即可．

解答：解：（1）由f（x）是奇函数，
∴f（-x）=-f（x）
∴

-ax+b

1+x2

=-

ax+b

1+x2

，即

2b

1+x2

=0，
∴b=0，
又f(

1

2

)=

2

5

，代入函数得a=1．
∴f(x)=

x

1+x2

．
（2）f（x）在（-1，1）上是增函数．
证明：在（-1，1）上任取两个值x₁，x₂，且x₁＜x₂，
则f(x1)-f(x2)=

x1

1+ x 2 1

-

x2

1+ x 2 2

=

(x1-x2)(1-x1x2)

(1+ x 2 1 )(1+ x 2 2 )

∵-1＜x₁＜x₂＜1，
∴-1＜x₁x₂＜1；
∴1-x₁x₂＞0，又x1-x2＜0，1+

x

2 1

＞0，1+

x

2 2

＞0
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
∴f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在（-1，1）上是增函数．

点评：本题考查函数奇偶性的性质，着重考查奇偶函数的定义及其单调性的定义及应用，考查学生的规范意识，属于中档题．