Question

（本小题满分12分）已知函数=(为实常数).

（1）若函数在=1处与轴相切，求实数的值.

 (2)若存在∈[1，]，使得≤成立，求实数的取值范围.

 

Answer 1

【答案】

（1）=；（2）a的取值范围是．

【解析】（1）先求出原函数的导数==欲求出切线方程，只须求出其斜率即可，故先利用导数求出在x=1处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．列出关于a的方程求得a的值

（2）存在∈[1，]，使得≤成立，

不等式，      可化为．

∵, ∴且等号不能同时取，所以，即，

因而（）构造函数利用导数求解最大值即可。

解：（1）==，由在=1处与轴相切知，=0，即=0

解得，=；

（2）不等式， 可化为．

∵, ∴且等号不能同时取，所以，即，

因而（）

令（），又，

当时，，，

从而（仅当x=1时取等号），所以在上为增函数，

故的最小值为，所以a的取值范围是．