题目内容
已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，则“f（x）是周期函数”的一个充要条件是（ ）
| A．f（x）=cosx | B．?α∈R，f（α+x）=f（α-x） |
| C．f（1+x）=f（1-x） | D．?α∈R（α≠0），f（α+x）=f（α-x） |
f（x）=cosx，则函数的周期为2π，故“f（x）=cosx”是“f（x）是周期函数”的一个充分不必要条件，故A不正确；
?α∈R，f（α+x）=f（α-x），则任意实数都是函数的周期，故“?α∈R，f（α+x）=f（α-x）”是“f（x）是周期函数”的一个充分不必要条件，故B不正确；
f（1+x）=f（1-x），则函数的周期为2，故“f（1+x）=f（1-x）”是“f（x）是周期函数”的一个充分不必要条件，故C不正确；
?α∈R（α≠0），f（α+x）=f（α-x），则函数的周期为2α，故“?α∈R（α≠0），f（α+x）=f（α-x）”是“f（x）是周期函数”的一个充分不必要条件，故D正确；
故选D
?α∈R，f（α+x）=f（α-x），则任意实数都是函数的周期，故“?α∈R，f（α+x）=f（α-x）”是“f（x）是周期函数”的一个充分不必要条件，故B不正确；
f（1+x）=f（1-x），则函数的周期为2，故“f（1+x）=f（1-x）”是“f（x）是周期函数”的一个充分不必要条件，故C不正确；
?α∈R（α≠0），f（α+x）=f（α-x），则函数的周期为2α，故“?α∈R（α≠0），f（α+x）=f（α-x）”是“f（x）是周期函数”的一个充分不必要条件，故D正确；
故选D
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