Question

已知左焦点为F(-1,0)的椭圆过点E（1,）.过点P(1,1)分别作斜率为k1,k2的椭圆的动弦AB,CD,设M,N分别为线段AB,CD的中点.

(1)求椭圆的标准方程;

(2)若P为线段AB的中点,求k1;

(3)若k1+k2=1,求证直线MN恒过定点,并求出定点坐标.

 

Answer 1

【答案】

(1) +=1 (2) - (3)证明见解析 （0,-）

【解析】

解:(1)依题设c=1,且右焦点F′(1,0).

所以2a=|EF|+|EF′|=+

=2,

b2=a2-c2=2,

故所求的椭圆的标准方程为+=1.

(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),

则+=1,①

+=1.②

②-①,得+=0.

所以k1==-=-=-.

(3)依题设,k1≠k2.

设M(xM,yM),

又直线AB的方程为y-1=k1(x-1),

即y=k1x+(1-k1),

亦即y=k1x+k2,

代入椭圆方程并化简得(2+3)x2+6k1k2x+3-6=0.

于是,xM=,yM=,

同理,xN=,yN=.

当k1k2≠0时,

直线MN的斜率k==

=.

直线MN的方程为y-=(x-),

即y=x+(·+),

亦即y=x-.

此时直线过定点（0,-）.

当k1k2=0时,直线MN即为y轴,

此时亦过点（0,-）.

综上,直线MN恒过定点,且坐标为（0,-）.