Question

【题目】已知椭圆，点在椭圆上，椭圆的四个顶点的连线构成的四边形的面积为．

（1）求椭圆的方程；

（2）设点为椭圆长轴的左端点， 为椭圆上异于椭圆长轴端点的两点，记直线斜率分别为、，若，请判断直线是否过定点？若过定点，求该定点坐标，若不过定点，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】【试题分析】（1）将的坐标代入椭圆方程得到一个方程，利用四边形的面积可得到另一个方程，结合，联立方程组可解得的值.（2）设出直线的方程，联立直线的方程和椭圆的方程，写出判别式和韦达定理，代入，化简后可求得定点坐标.

【试题解析】

（1）由点在椭圆上可得： ，整理为： ，

由椭圆的四个顶点的连接线构成的四边形的面积为可得： ，即，

可得，由可解得： ，故椭圆的方程为： ．

（2）设点的坐标分别为，点的坐标为，

故，可得，

设直线的方程为（直线的斜率存在），

可得，

整理为： ，

联立，消去得： ，

由 ，有，

有， ，

故有： ，

整理得： ，解得： 或，

当时直线的方程为，即，过定点不合题意，

当时直线的方程为，即，过定点．