Question

已知函数f（x）是（-∞，+∞）上的奇函数，且f（x）的图象关于直线x=1对称，当x∈[-1，0]时，f（x）=1-，则f（2012）+f（2013）=________．

Answer 1

1
分析：由函数的对称性可得f（x）=f（2-x），再由奇偶性可得f（x）=-f（x-2），由此可推得函数的周期，根据周期性可把f（2012），f（2013）转化为已知区间上求解．
解答：因为f（x）图象关于x=1对称，所以f（x）=f（2-x），
又f（x）为奇函数，所以f（2-x）=-f（x-2），即f（x）=-f（x-2），
则f（x+4）=-f（x+2）=-[-f（x）]=f（x），
故4为函数f（x）的一个周期，
从而f（2012）+f（2013）=f（0）+f（1），
而f（0）=1-=0，f（1）=-f（-1）=-[1-]=1，
故f（0）+f（1）=1，即f（2012）+f（2013）=1，
故答案为：1．
点评：本题考查函数的奇偶性、周期性、对称性及其应用，考查函数求值，解决本题的关键是利用已知条件推导函数周期．