Question

给出函数f（x）=e^x+e^1-x，若f（x）≥f（x₀）对一切x∈R成立，则x₀=

1

2

．

Answer 1

分析：此即函数f（x）=e^x+e^1-x在x₀处取到最小值．利用导数求解．先求出原函数的导数，再求出导函数的零点，最后考虑零点左右的单调性即可．

解答：解：∵y=e^x+e^1-x，
∴y′=e^x-e^1-x，
令y′=e^x-e^1-x=0，
得x=

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，
且当x＞

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2

时，y′＞0，原函数是增函数，
当x＜

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2

时，y′＜0，原函数是减函数，
∴当x=

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2

时，函数y=e^x+e^1-x取最小值，最小值为f（

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）．
若f（x）≥f（x₀）对一切x∈R成立，则x₀=

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2

故答案为

1

2

．

点评：本题主要考查了函数的单调性与导数的关系、指数函数单调性的应用，属于基础题．