Question

如图，在底面是直角梯形的四棱锥S—ABCD中，∠ABC=90°,SA⊥面ABCD，SA=AB=BC=1，AD=.

(1)求四棱锥S—ABCD的体积；

(2)求面SCD与面SBA所成的二面角的正切值.

Answer 1

解析：①直角梯形ABCD的面积为

S_底面=(BC+AD)·AB=,

∴四棱锥S-ABCD的体积是

V=×SA×S_底面=.

②如图，延长BA、CD相交于点E，连结SE，则SE是所求二面角的棱.

∵AD∥BC,BC=2AD,∴EA=AB=SA,∴SE⊥SB.

∵SA⊥面ABCD，得面SEB⊥面EBC，EB是交线，

又BC⊥EB,∴BC⊥面SEB.

故SB是CS在面SEB上的射影，∴CS⊥SE.

所以∠BSC是所求二面角的平面角.

∵，BC=1，BC⊥SB，

tan∠BSC=.

即所求二面角的正切值为.