Question

已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n=pn²-2n+q（p，q∈R），n∈N₊．
（Ⅰ）求的q值；
（Ⅱ）若a₁与a₅的等差中项为18，b_n满足a_n=2log₂b_n，求数列{b_n}的前n和T_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先令n=1得到a₁，然后当n≥2时，利用a_n=S_n-s_n-1得到a_n的通项公式，因为a₁符合n≥2时，a_n的形式，把n=1代入求出q即可；
（Ⅱ）a₁与a₅的等差中项为18得a3=

a1+a5

2

，求出a₃，代入通项公式求出p的值，得到a_n，把a_n代入到a_n=2log₂b_n，得到b_n的通项公式，发现{b_n}是首项为2，公比为16的等比数列，利用等比数列的求和公式求出即可．

解答：解：（Ⅰ）当n=1时，a₁=S₁=p-2+q
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=pn²-2n+q-p（n-1）²+2（n-1）-q=2pn-p-2
∵{a_n}是等差数列，a₁符合n≥2时，a_n的形式，
∴p-2+q=2p-p-2，
∴q=0
（Ⅱ）∵a3=

a1+a5

2

，由题意得a₃=18
又a₃=6p-p-2，∴6p-p-2=18，解得p=4
∴a_n=8n-6
由a_n=2log₂b_n，得b_n=2^4n-3．
∴b1=2，

bn+1

bn

=

24(n+1)-3

24n-3

=24=16，即{b_n}是首项为2，公比为16的等比数列
∴数列{b_n}的前n项和Tn=

2(1-16n)

1-16

=

2

15

(16n-1)．

点评：考查学生会利用等差数列的前n+1项的和与前n项的和相减得到等差数列的通项公式，以及会求等比数列的前n项的和．