Question

设数列{a_n}的前n项和为 S_n，满足a_n+S_n=An²+Bn+1（A≠0）．
（1）若a₁=

3

2

，a₂=

9

4

，求证：数列{a_n-n}是等比数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（2）已知数列{a_n}是等差数列，求

B-1

A

的值．

Answer 1

分析：（1）在递推式中分别取n=1，2，得到两个等式，然后代入a₁=

3

2

，a₂=

9

4

得到关于A，B的二元一次方程，求解A，B的值，把A，B的值代回递推式，然后取n=n+1得另一递推式，两式相减后整理即可得到数列{a_n-n}是等比数列，求出其通项公式后得到数列{a_n}的通项公式；
（2）设出等差数列{a_n}的通项公式，利用Sn=

(a1+an)n

2

写出其前n项和，代入a_n+S_n=An²+Bn+1后由系数相等求出A，B，C，则答案可求．

解答：解：（1）由a_n+S_n=An²+Bn+1，
分别令n=1，2代入上式得：

2a1=A+B+1 2a2+a1=4A+2B+1

，
又a₁=

3

2

，a₂=

9

4

，解得

A= 1 2 B= 3 2

．
∴a_n+S_n=

1

2

n²+

3

2

n+1①
an+1+Sn+1=

1

2

(n+1)2+

3

2

(n+1)+1②
②-①得：2a_n+1-a_n=n+2．
则an+1-(n+1)=

1

2

(an-n)．
∵a1-1=

1

2

≠0．
∴数列{a_n-n}是首项为

1

2

，公比为

1

2

的等比数列．
∴an-n=

1

2n

，则an=n+

1

2n

；
（2）∵数列{a_n}是等差数列，
∴设a_n=dn+c．
则Sn=

n(d+c+dn+c)

2

=

d

2

n2+(c+

d

2

)n．
∴an+Sn=

d

2

n2+(c+

3d

2

)n+c．
∴A=

d

2

，B=c+

3d

2

，c=1．
则

B-1

A

=3．

点评：本题考查了等比关系的确定，考查了等差数列和等比数列的通项公式，训练了待定系数法，考查了学生的计算能力，是中档题．