题目内容

如图，在四棱锥P-ABCD中，△PCD为等边三角形，四边形ABCD为矩形，平面PDC丄平面ABCD，M、N、E分别是AB、PD、PC的中点，AB=2AD．
（Ⅰ）求证DE丄MN；
（Ⅱ）求二面角B-PA-D的余弦值．

解：（Ⅰ）过P作PO⊥CD于O，则O为CD的中点
∵平面PDC丄平面ABCD，∴PO⊥平面ABCD
建立如图所示的直角坐标系，设AD=2，则AB=4
∴ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$
∴DE丄MN；
（Ⅱ）设 $\text{[math]}$ 为平面PAB的一个法向量，而 $\text{[math]}$
由 $\text{[math]}$ 得 $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
又设 $\text{[math]}$ 为平面PAD的一个法向量，而 $\text{[math]}$
由 $\text{[math]}$ 得 $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
从而可知，二面角B-PA-D的余弦值为 $\text{[math]}$

分析：（Ⅰ）建立空间直角坐标系：过P作PO⊥CD于O，则O为CD的中点，由平面PDC丄平面ABCD，知PO⊥平面ABCD，用坐标表示向量 $\text{[math]}$ ，进而证明 $\text{[math]}$ ，从而得证；
（Ⅱ）分别求出平面PAB、平面PAD的一个法向量，再利用数量积公式求夹角．
点评：本题的考点是用空间向量求平面角的夹角，主要考查空间直角坐标系的建立，考查用坐标表示向量，考查用空间向量的方法解决线线位置关系，求二面角的平面角．