Question

设函数f（x）=lnx-ax²-bx，
（1）当a=b=时，求f（x）的最大值；
（2）令F（x）=f（x）+ax²+bx+，（0＜x≤3），其图象上任意一点P（x₀，y₀）处切线的斜率k≤恒成立，求实数a的取值范围；
（3）当a=0，b=-1，方程2mf（x）=x²有唯一实数解，求正数m的值。

Answer 1

解：（1）依题意，知f（x）的定义域为（0，+∞），
当，
，
令f′（x）=0， 解得x=1，（∵x＞0），
因为g（x）=0有唯一解，所以，
当时，，此时f（x）单调递增；
当x＞1时，，此时f（x）单调递减，
所以f（x）的极大值为，此即为最大值。
（2），
则有上恒成立，
所以，
当取得最大值，
所以a≥；
（3）因为方程有唯一实数解，
所以有唯一实数解，
设，
则，
令，
因为，
当上单调递减；
当上单调递增；
当，
则，
所以，
因为m＞0，
所以，（*）
设函数，
因为当x＞0时，h（x）是增函数，
所以h（x）=0至多有一解，
因为h（1）=0，
所以方程（*）的解为，
解得。