Question

已知函数f（x）=（1+cotx）sin²x+msin（x+

π

4

）sin（x-

π

4

）．
（1）当m=0时，求f（x）在区间[

π

8

，

3π

4

]上的取值范围；
（2）当tana=2时，f(a)=

3

5

，求m的值．

Answer 1

分析：（1）把m=0代入到f（x）中，然后分别利用同角三角函数间的基本关系、二倍角的正弦、余弦函数公式以及特殊角的三角函数值把
f（x）化为一个角的正弦函数，利用x的范围求出此正弦函数角的范围，根据角的范围，利用正弦函数的图象即可得到f（x）的值域；
（2）把f（x）的解析式利用二倍角的正弦、余弦函数公式及积化和差公式化简得到关于sin2x和cos2x的式子，把x换成α，根据tanα的值，利用同角三角函数间的基本关系以及二倍角的正弦函数公式化简求出sin2α和cos2α的值，把sin2α和cos2α的值代入到f（α）=

3

5

中得到关于m的方程，求出m的值即可．

解答：解：（1）当m=0时，f(x)=(1+

cosx

sinx

)sin2x=sin2x+sinxcosx=

1-cos2x+sin2x

2

=

1

2

[

2

sin(2x-

π

4

)+1]，
由已知x∈[

π

8

，

3π

4

]，得sin（2x-

π

4

）∈[-

2

2

，1]，从而得：f（x）的值域为[0，

1+ 2

2

]．

（2）因为f(x)=(1+

cosx

sinx

)sin2x+msin(x+

π

4

)sin(x-

π

4

)
=sin²x+sinxcosx+

m(cos π 2 -cos2x)

2

=

1-cos2x

2

+

sin2x

2

-

mcos2x

2

=

1

2

[sin2x-(1+m)cos2x]+

1

2

所以f(α)=

1

2

[sin2α-(1+m)cos2α]+

1

2

=

3

5

①
当tanα=2，得：sin2a=

2sinacosa

sin2a+cos2a

=

2tana

1+tan2a

=

4

5

，cos2a=-

3

5

，
代入①式，解得m=-2．

点评：考查三角函数的化简、三角函数的图象和性质、已知三角函数值求值问题．依托三角函数化简，考查函数值域，作为基本的知识交汇问题，考查基本三角函数变换，属于中档题．