Question

设函数f（x）=x³-3x²+2x，若过f（x）图象上一点P（x₀，y₀）（x₀≠0）的切线为l：y=kx，求k的值和P的坐标．

Answer 1

分析：由原点的坐标代入函数解析式中判断出原点在函数图象上，根据题意可知切点P（x₀，y₀），求出函数的导函数，把P的横坐标代入导函数中求出的函数值即为切线的斜率，又根据点P和原点两点坐标表示出切线的斜率，两者相等得到P横纵坐标的关系式，记作①，又因为P在函数图象上，把P点坐标代入函数关系式中得到另外一个关于P横纵坐标的关系式，记作②，联立①②即可求出P的横坐标，即可得到切线的斜率，根据求出的斜率．

解答：解：易见O（0，0）在函数y=x³-3x²+2x的图象上，y′=3x²-6x+2，但O点未必是切点．
根据题意可知切点为点P（x₀，y₀），
∵y′=3x²-6x+2，
∴切线斜率为3x₀²-6x₀+2，又切线过原点，
∴kx0=

y0

x0

=3x₀²-6x₀+2即：y₀=3x₀³-6x₀²+2x₀①
又∵切点A（x₀，y₀）y=x³-3x²+2x的图象上，
∴y₀=x₀³-3x₀²+2x₀②
由①②得：x₀=0或x₀=

3

2

，
∴切线的斜率为-

1

4

．
∴k=-

1

4

，P(

3

2

，-

3

8

)．

点评：此题考查学生会利用导数求切线上过某点切线方程的斜率，会根据斜率和一点坐标写出直线的方程，是一道综合题．