Question

（2012•泉州模拟）已知点F（1，0），直线l：x=-1，动点P到点F的距离等于它到直线l的距离．
（Ⅰ）试判断点P的轨迹C的形状，并写出其方程．
（Ⅱ）是否存在过N（4，2）的直线m，使得直线m被截得的弦AB恰好被点N所平分？

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据点P到点F的距离等于它到直线l的距离，利用抛物线的定义，可得点P的轨迹C是以F为焦点、直线x=-1为准线的抛物线，从而可求抛物线方程为y²=4x；
（Ⅱ）解法一：假设存在满足题设的直线m．设直线m与轨迹C交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由中点坐标公式可得

x1+x2=8 y1+y2=4

，直线m的斜率存在，设直线m的方程与抛物线方程联立，消去y，利用x1+x2=

8k2-4k+4

k2

=8，可得结论；解法二：假设存在满足题设的直线m．设直线m与轨迹C交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由中点坐标公式可得

x1+x2=8 y1+y2=4

，设直线m的方程与抛物线方程联立，消去x，利用y₁+y₂=4a=4，可得结论；
解法三：假假设存在满足题设的直线m．设直线m与轨迹C交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由中点坐标公式可得

x1+x2=8 y1+y2=4

，利用点差法求直线的斜率，从而可得结论．

解答：解：（Ⅰ）因为点P到点F的距离等于它到直线l的距离，
所以点P的轨迹C是以F为焦点、直线x=-1为准线的抛物线，…（2分）
所以方程为y²=4x．…（5分）
（Ⅱ）解法一：假设存在满足题设的直线m．设直线m与轨迹C交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
依题意，得

x1+x2=8 y1+y2=4

．…（6分）
①当直线m的斜率不存在时，不合题意．…（7分）
②当直线m的斜率存在时，设直线m的方程为y-2=k（x-4），…（8分）
联立方程组

y-2=k(x-4) y2=4x

，消去y，得k²x²-（8k²-4k+4）x+（2-4k）²=0，（*）   …（9分）
∴x1+x2=

8k2-4k+4

k2

=8，解得k=1．…（10分）
此时，方程（*）为x²-8x+4=0，其判别式大于零，…（11分）
∴存在满足题设的直线m，且直线m的方程为：y-2=x-4，即x-y-2=0．…（13分）
解法二：假设存在满足题设的直线m．设直线m与轨迹C交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
依题意，得

x1+x2=8 y1+y2=4

．…（6分）
易判断直线m不可能垂直y轴，…（7分）
∴设直线m的方程为x-4=a（y-2），…（8分）
联立方程组

x-4=a(y-2) y2=4x

，消去x，得y²-4ay+8a-16=0，…（9分）
∵△=16（a-1）²+48＞0，∴直线与轨迹C必相交．…（10分）
又y₁+y₂=4a=4，∴a=1．…（11分）
∴存在满足题设的直线m，且直线m的方程为：y-2=x-4即x-y-2=0．…（13分）
解法三：假设存在满足题设的直线m．设直线m与轨迹C交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
依题意，得

x1+x2=8 y1+y2=4

．…（6分）
∵A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）在轨迹C上，
∴有

y12=4x1…(1) y22=4x2…(2)

，将（1）-（2），得y12-y22=4(x1-x2)．…（8分）
当x₁=x₂时，弦AB的中点不是N，不合题意，…（9分）
∴

y1-y2

x1-x2

=

4

y1+y2

=1，即直线AB的斜率k=1，…（10分）
注意到点N在曲线C的张口内（或：经检验，直线m与轨迹C相交）…（11分）
∴存在满足题设的直线m，且直线m的方程为：y-2=x-4即x-y-2=0．…（13分）

点评：本小题考查抛物线的标准方程、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想等．