Question

已知函数f（x）=

1

3

x3+x2-ax(a∈R)．
（1）若a=8，求f（x）在区间[-6，3]上的最大值；
（2）若g（x）=

3f(x)•ex

x

在（-∞，0）上恰有两个极值点，求a的取值范围．

Answer 1

（1）当a=8时，函数f（x）=

1

3

x3+x2-8x．
∴f′（x）=x²+2x-8
令f′（x）=0，则x=-4，或x=2
当-6＜x＜-4时，f′（x）＞0，当2＜x＜3时，f′（x）＞0，当-4＜x＜2时，f′（x）＜0，
∴f（x）_极大值=f（-4）=

80

3

又∵f（-6）=12，f（3）=-6
f（x）的最大值为

80

3

（2）∵g（x）=

3f(x)•ex

x

=（x²+3x-3a）e^x
∴g′（x）=（x²+5x+3-3a）e^x
∵g（x）=

3f(x)•ex

x

在（-∞，0）上恰有两个极值点，
∴g（x）=0在（-∞，0）上恰有两个相异实根
即x²+5x+3-3a=0在（-∞，0）上恰有两个相异实根
∴

△=25-4(3-3a)＞0 3-3a＞0

解得：-

13

12

＜a＜1