题目内容

已知f(x)=
x
，g（x）=x+a  （a＞0）
（1）当a=4时，求|
f(x)-ag(x)
f(x)
|的最小值
（2）当1≤x≤4时，不等式|
f(x)-ag(x)
f(x)
|＞1恒成立，求a的取值范围．
（1）当a=4时，|
f(x)-ag(x)
f(x)
|=|
x
-4x -16
x
|=|1-(4
x
+
16
x
) |
∵
x
＞0，∴4
x
+
16
x
≥ 16，当
x
=
4
x
，即x=4时，取“=”号
故|
f(x)-ag(x)
f(x)
|的最小值为15；
（2）|
f(x)-ag(x)
f(x)
|=|
x
-ax -a2
x
|=|1-(a
x
+
a2
x
) |（1≤x≤4）
设t=
x
，则问题等价于|1-(at+
a2
t
) |＞1，t∈[1，2]时恒成立，
即at+
a2
t
＜0或at+
a2
t
＞2，t∈[1，2]时恒成立，
令 h(t)=a(t+
a
t
)，则只需h（t）在[1，2]上的最小值大于2或最大值小于0即可，
由函数 y=x+
a
x
的单调性知
a
＞2
h(t)min=h(2)＞2
或
1≤
a
≤2
h(t)min=h(
a
)＞2
或
0＜
a
＜1
h(t)min=h(1)＞2
，
a
＞2
h(t)max=h(1)＜0
或
1≤
a
≤2
h(t)max=h(1)＜0
h(2)＜0
或
0＜
a
＜1
h(t)max=h(2)＜0
或a＜0
解得a＞1或a＜0
练习册系列答案
相关题目

已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=x2-kx3．（k≥0）
（Ⅰ）求g（x）的解析式；
（Ⅱ）讨论函数f（x）在区间（-∞，0）上的单调性；
（Ⅲ）若数学公式，设g（x）是函数f（x）在区间[0，+∞）上的导函数，问是否存在实数a，满足a＞1并且使g（x）在区间数学公式上的值域为数学公式，若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．
已知f（x）,y（x）的定义域都是R，则“x∈R,f（x）＞g（x）”为真命题的充要条件是（　　）

A.有一个x∈R,使f（x）＞g（x）

B.有无数多个x∈R,使f（x）＞g（x）

C.对R中任意的x值，使f（x）＞g（x）+1

D.R中不存在x，使f（x）≤g（x）

已知f（x）,y（x）的定义域都是R，则“x∈R,f（x）＞g（x）”为真命题的充要条件是（　　）

A.有一个x∈R,使f（x）＞g（x）

B.有无数多个x∈R,使f（x）＞g（x）

C.对R中任意的x值，使f（x）＞g（x）+1

D.R中不存在x，使f（x）≤g（x）

已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=x2-kx3．（k≥0）
（Ⅰ）求g（x）的解析式；
（Ⅱ）讨论函数f（x）在区间（-∞，0）上的单调性；
（Ⅲ）若，设g（x）是函数f（x）在区间[0，+∞）上的导函数，问是否存在实数a，满足a＞1并且使g（x）在区间上的值域为，若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．

已知f(x)＝logax，g(x)＝2loga(2x+t-2)(a>0，a≠1，t∈R)．
(1)当t＝4，x∈[1,2]，且F(x)＝g(x)-f(x)有最小值2时，求a的值；
(2)当0<a<1，x∈[1,2]时，有f(x)≥g(x)恒成立，求实数t的取值范围．

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