Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，正数数列{b_n}中b₂=e，（e为自然对数的底≈2.718）且?n∈N^*总有2^n-1是S_n与a_n的等差中项，的等比中项．
（1）求证：?n∈N^*有；
（2）求证：?n∈N^*有．

Answer 1

解：（1）证明：∵2^n-1是S_n与a_n的等差中项，∴2ⁿ=S_n +a_n，∴S_n=2ⁿ-a_n，∴a₁=s₁=2-a₁，∴a₁=1．
由S_n=2ⁿ-a_n，可得 s_n+1=2ⁿ⁺¹-a_n+1，想减可得 a_n+1=s_n+1-S_n=2ⁿ⁺¹-2ⁿ-a_n+1+a_n．
化简可得 2a_n+1=2ⁿ+a_n．
变形可得 2ⁿ⁺¹ a_n+1-2ⁿ a_n =4ⁿ，故数列{ 2ⁿ⁺¹ a_n+1-2ⁿ a_n }构成等比数列，
故它的前n项和为 （ 2ⁿ⁺¹ a_n+1-2ⁿ a_n ）+（2ⁿa_n-2^n-1a_n-1）+…+（2²a₂-2a₁）=4ⁿ+4^n-1+…+4=，
即 a_n+1=，故 a_n=．
∴a_n+1-2ⁿ=（）＜0，a_n+1-a_n=（ ）-（）=（2ⁿ⁺¹-）＞0，
∴成立．
（2）证明：由（1）得的等比中项，∴b_n+1=b_n （b_n+1）．再由b₂=e，b_n＞0，∴b₁=．
∵a_n=，=2^n-1--≤2^n-1-1，
3a_n -1=3（）-1=-1＞2ⁿ-1．
要证，只要证 2^n-1-1＜lnb₁+lnb₂+…+lnb_n＜2ⁿ-1即可．
∵的等比中项，等价于 ．
∵4e＞8，∴b₁＞=1，b₁+1=＜e．
∴lnb₁＞ln1=0=2^1-1-1，lnb₁＜ln（b₁+1）＜1=2¹-1，故当n=1时，所证的不等式成立．
当n≥2时，＞，∴lnb_n+1＞2lnb_n．
∴lnb_n＞2lnb_n-1＞…＞2^n-2lnb₂=2^n-2．
∴lnb₁+lnb₂+…+lnb_n＞0+1+2+…+2^n-2=2^n-1-1≥．
再由 ln（b_n+1+1）=ln（+1）＜ln（ +1+b_n）=ln=2ln 可得
ln（b_n+1）＜2ln（b_n-1+1）＜2²ln（b_n-2+1）＜…＜2^n-1 ln（b₁+1）＜2^n-1．
∴lnb₁+lnb₂+…+lnb_n＜ln（b₁+1）+ln（b₂+1）+…+ln（b_n+1）＜1+2+2²+…+2^n-1=2ⁿ-1＜3a_n -1．
综上所述，总有成立．
分析：（1）先由条件求出a₁=1，进而求出 a_n+1=，可得a_n=，根据a_n+1-2ⁿ ＜0，以及a_n+1-a_n ＞0，可得结论成立．
（2）先由（1）求出b₁=，再证明a_n ≤2^n-1-1，3a_n -1＞2ⁿ-1．要证不等式成立，只要证 2^n-1-1＜lnb₁+lnb₂+…+lnb_n＜2ⁿ-1 即可．先证当n=1时，
不等式成立，当n≥2时，用放缩法证明 lnb₁+lnb₂+…+lnb_n＞0+1+2+…+2^n-2=2^n-1-1≥．再用放缩法证明∴lnb₁+lnb₂+…+lnb_n＜2ⁿ-1＜3a_n -1，
从而证得要证的不等式成立．
点评：本题主要考查等比数列的定义和性质、等差数列的定义和性质的应用，用放缩法证明不等式，数列与不等式的综合应用，属于难题．