Question

设函数f（x）=e^x（sinx-cosx），若0≤x≤2012π，则函数f（x）的各极大值之和为（　　）

• A、

  eπ(1-e2012π)

  1-e2π

• B、

  eπ(1-e1006π)

  1-eπ

• C、

  eπ(1-e1006π)

  1-e2π

• D、

  eπ(1-e2012π)

  1-eπ

Answer 1

分析：先求出其导函数，利用导函数求出其单调区间，进而找到其极大值f（2kπ+π）=e^2kπ+π[sin（2kπ+π）-cos（2kπ+π）]=e^2kπ+π，再利用数列的求和方法来求函数f（x）的各极大值之和即可．

解答：解：因为函数f（x）=e^x（sinx-cosx），
所以f'（x）=（e^x）'（sinx-cosx）+e^x（sinx-cosx）'=2e^xsinx，
∴x∈（2kπ，2kπ+π）时原函数递增，x∈（2kπ+π，2kπ+2π）时，函数递减．
故当x=2kπ+π时，f（x）取极大值，
其极大值为f（2kπ+π）=e^2kπ+π[sin（2kπ+π）-cos（2kπ+π）]=e^2kπ+π．
又0≤x≤2012π，
∴函数f（x）的各极大值之和S=e^π+e^3π+e^5π+…+e^2009π=

eπ[1-(e2π) 1005]

1-e2π

=

eπ(1-e2010π)

1-e2π

．
故选：A．

点评：本题主要考查利用导数研究函数的极值以及数列的求和．利用导数研究函数的单调性，求解函数的单调区间、极值、最值问题，是函数这一章最基本的知识，也是教学中的重点和难点，学生应熟练掌握．