Question

如图，某机场建在一个海湾的半岛上，飞机跑道AB的长为4.5km，且跑道所在的直线与海岸线l的夹角为60°（海岸线可以看作是直线），跑道上离海岸线距离最近的点B到海岸线的距离BC=4

3

km．D为海湾一侧海岸线CT上的一点，设CD=x（km），点D对跑道AB的视角为θ．
（1）将tanθ 表示为x的函数；
（2）求点D的位置，使θ取得最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）过A分别作直线CD，BC的垂线，求出AE，在直角三角形中，设CD=x，利用三角函数tan∠BCD，讨论x的取值范围得到tan∠ADC有两种情况求得结果一样，而tanθ等于tan∠ADC-tan∠BDC，利用正切公式tan（α-β）=

tanα-tanβ

1+tanα•tanβ

求出其值即可．
（Ⅱ）根据a+b≥2

ab

当且仅当a=b时取等号的方法，求出tanθ的最大值，根据正切函数是单调增函数得到x的值表示出D的位置即可．

解答：解：（Ⅰ）过A分别作直线CD，BC的垂线，垂足分别为E，F．由题可知，AB=4.5，BC=4

3

，∠ABF=90°-60°=30°，
所以CE=AF=4.5×sin30°=

9

4

，BF=4.5×cos30°=

9

4

3

，AE=CF=BC+BF=

25

4

3

．
因为CD=x（x＞0）．所以tan∠BDC=

BC

CD

=

4 3

x

．
当x＞

9

4

时，ED=x-

9

4

，tan∠ADC=

AE

ED

=

25 3 4

x- 9 4

=

25 3

4x-9

（如图1）．
当0＜x＜

9

4

时，ED=

9

4

-x，tan∠ADC=-

AE

ED

=

25 3

4x-9

（如图2）．
所以tanθ=tan∠ADB=tan（∠ADC-∠BDC）=

tan∠ADC-tan∠BDC

1+tan∠ADC•tan∠BDC

=

25 3 4x-9 - 4 3 x

1+ 25 3 4x-9 •  4 3 x

=

9 3 (x+4)

x(4x-9)+300

，其中x＞0且x≠

9

4

．
当x=

9

4

时，tanθ=

CE

BC

=

9 3

48

，符合上式．
所以tanθ=

9 3 (x+4)

x(4x-9)+300

．x＞0

图1图2

（Ⅱ）tanθ=

9 3 (x+4)

x(4x-9)+300

=

9 3

4(x+4)+ 400 x+4 -41

，x＞0．
因为4（x+4）+

400

x+4

-41≥2

4(x+4)• 400 x+4

-41=39，当且仅当4（x+4）=

400

x+4

，即x=6时取等号．
所以当x=6时，4（x+4）+

400

x+4

-41取最小值39．
所以当x=6时，tanθ取最大值

3 3

13

．
由于y=tanx在区间（0，

π

2

）上是增函数，所以当x=6时，θ取得最大值．
答：在海湾一侧的海岸线CT上距C点6km处的D点处观看飞机跑道的视角最大．

点评：考查学生根据实际问题选择函数类型的能力．