题目内容

已知函数 $数学公式$ 的图象与 $数学公式$ 的图象关于y轴对称．
（Ⅰ）求m的值；
（Ⅱ）若 $数学公式$ （a∈R），试讨论函数g（x）的单调性．

解：（I）函数 $\text{[math]}$ 的图象关于y轴对称的图象对应的解析式为：
$\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
故m=1
（II）由（I）中f（x）= $\text{[math]}$
故 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$
∴g′（x）= $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
当a+1≤0，即a≤-1时，g′（x）≥0恒成立
此时g（x）在定义域（-∞，0）∪（0，+∞）上为增函数；
当a+1＞0，即a＞-1时，
若x∈（-∞，- $\text{[math]}$ ）∪（ $\text{[math]}$ ，+∞）时，g′（x）＞0；
若x∈（- $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）时，g′（x）＜0；
此时g（x）在区间（-∞，- $\text{[math]}$ ）和（ $\text{[math]}$ ，+∞）上为增函数；
在区间（- $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）上为减函数；
分析：（I）根据函数对称变换法则，求出函数 $\text{[math]}$ 的图象关于y轴对称的图象对应的解析式，进而可得m的值；
（II）根据（I）中函数的解析式可得函数 $\text{[math]}$ 的解析式，求出其导函数，分类讨论可得函数的单调性．
点评：本题考查的知识点是指数函数的图象变换及函数的单调性，熟练掌握导数法求函数单调性的方法和步骤是解答的关键．