题目内容

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且点（n，S_n）在函数y=2^x-1-2的图象上．
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（II）设数列{b_n}满足：b₁=0，b_n+1+b_n=a_n，求数列{b_n}的前n项和公式；
（III）在第（II）问的条件下，若对于任意的n∈N^*不等式b_n＜λb_n+1恒成立，求实数 $数学公式$ 的取值范围．

解：（I）由题意可知， $\text{[math]}$ ．
当n≥2时， $\text{[math]}$ ，
当n=1时， $\text{[math]}$ 也满足上式，
所以 $\text{[math]}$ ．…（3分）
（II）由（I）可知 $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ ．
当k=1时， $\text{[math]}$ ，…①
当k=2时， $\text{[math]}$ ，所以 $\text{[math]}$ ，…②
当k=3时， $\text{[math]}$ ，…③
当k=4时， $\text{[math]}$ ，所以 $\text{[math]}$ ，…④
…
…
当k=n-1时（n为偶数）， $\text{[math]}$ ，所以 $\text{[math]}$ …n-1
以上n-1个式子相加，得 $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，又b₁=0，
所以，当n为偶数时， $\text{[math]}$ ．
同理，当n为奇数时， $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ ，
所以，当n为奇数时， $\text{[math]}$ ．…（6分）
因此，当n为偶数时，数列{b_n}的前n项和T_n=b₁+b₂+…+b_n= $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ；
当n为奇数时，数列{b_n}的前n项和T_n=b₁+b₂+…+b_n-1+b_n= $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
故数列{b_n}的前n项和 $\text{[math]}$ ．…（8分）
（III）由（II）可知 $\text{[math]}$ ，
①当n为偶数时， $\text{[math]}$ ，
所以 $\text{[math]}$ 随n的增大而减小，
从而，当n为偶数时， $\text{[math]}$ 的最大值是 $\text{[math]}$ ．
②当n为奇数时， $\text{[math]}$ ，
所以 $\text{[math]}$ 随n的增大而增大，且 $\text{[math]}$ ．
综上， $\text{[math]}$ 的最大值是1．
因此，若对于任意的n∈N*，不等式b_n＜λb_n+1恒成立，只需λ＞1，
故实数λ的取值范围是（1，+∞）．…（13分）
分析：（I）由题意可知 $\text{[math]}$ ，分当n=1，和n≥2两种情况，可得数列{a_n}的通项公式；
（II）可得 $\text{[math]}$ ，分n为奇数和n为偶数，由累加的方法，结合等比数列的求和公式可得答案；
（III）由（II）可知 $\text{[math]}$ ，分当n为偶数和奇数时，考虑数列的单调性，可得 $\text{[math]}$ 的最大值是1，进而可得结论．
点评：本题考查数列的求和，涉及等差数列等比数列，以及分类讨论的思想，属中档题．