Question

已知函数f(x)=(m+1)lnx+

m

2

x2-1．
（1）当m=-

1

2

时，求f（x）在区间[

1

e

， e]上的最值；
（2）讨论函数f（x）的单调性．

Answer 1

（1）当m=-

1

2

时，f(x)=

1

2

lnx-

1

4

x2-1
∴f′(x)=

(1+x)(1-x)

2x

∵x＞0，∴x+1＞0
∴令f′（x）＞0，即

(1+x)(1-x)

2x

＞0，∵x＞0，x+1＞0，∴0＜x＜1；
令f′（x）＜0，即

(1+x)(1-x)

2x

＜0，∵x＞0，x+1＞0，∴x＞1，
∴函数的递增区间为（0，1），递减区间为（1，+∞）
∵x∈[

1

e

， e]
∴函数的递增区间为[

1

e

，1），递减区间为（1，e]
∴f（x）在区间[

1

e

， e]上的最大值为f（1）=-

5

4

，最小值为f（e）=

1

2

-

1

4

e2-1；
（2）∵函数f(x)=(m+1)lnx+

m

2

x2-1，
∴f′(x)=

mx2+(m+1)

x

（x＞0）
当m≥0时，f′（x）＞0，函数在（0，+∞）上单调递增；
当-1＜m＜0时，f′(x)=

m(x+ -1-m m )(x- -1-m m )

x

，
令f′（x）＞0，∵x＞0，-1＜m＜0，∴0＜x＜

-1-m m

；
令f′（x）＜0，∵x＞0，-1＜m＜0，∴x＞

-1-m m

；
∴函数在（0，

-1-m m

）上单调递增，在（

-1-m m

，+∞）上单调减；
当m≤-1时，f′（x）≤0，函数在（0，+∞）上单调递减．