Question

已知函数f（x）=sin2x+2cos²x-1．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和最大值；
（Ⅱ）求函数f（x）在区间上的最大值和最小值．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵2cos²x-1=cos2x，f（x）=sin2x+2cos²x-1，
∴f（x）=sin2x+cos2x=．…..（3分）
因此，函数的周期T=．…..（5分）
又∵，
∴，当2x+=+2kπ时，即x=+kπ（k∈Z）时，函数的最大值为．
综上所述，函数f（x）的最小正周期是π；最大值是．…..（7分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=．
∵，得．
∴-≤≤=1
当时，即时，函数f（x）有最大值是1；
当时，即时，函数f（x）有最小值是．
综上所述，函数f（x）在区间上的最大值是1，最小值是．…..（13分）
分析：（I）根据二倍角的余弦公式结合辅助角公式，化简整理得f（x）=．再根据函数y=Asin（ωx+φ）的周期与最值的结论，不难得到函数f（x）的最小正周期和最大值；
（II）由（I）得到的表达式，结合当x∈时，，再根据正弦函数的图象与性质的公式，即可得到函数的最大值与最小值．
点评：本题结合辅助角公式和三角函数的降幂公式，将三角函数式化简并求函数的周期与最值，着重考查了三角函数中的恒等变换应用和函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质等知识，属于基础题．