题目内容

已知
a
=(cos
3
2
x，sin
3
2
x)， 
b
=(cos
x
2
，-sin
x
2
)，且x∈[0，
π
2
]．
（1）求
a
•
b
及|
a
+
b
|；
（2）求函数f(x)=
a
•
b
-|
a
+
b
|sinx的最小值．
（1）
a
•
b
=cos
3x
2
cos
x
2
-sin
3x
2
sin
x
2
=cos2x，
|
a
+
b
|=
(cos
3x
2
+cos
x
2
)2+(sin
3x
2
+sin
x
2
)2
=
2+2(cos
3x
2
cos
x
2
-sin
3x
2
sin
x
2
)

=
2+2cos2x
=2|cosx|
∵x∈[0，
π
2
]，∴cosx＞0．∴|
a
+
b
|=2cosx．

（2）f（x）=
a
•
b
-|
a
+
b
|sinx=cos2x-2cosxsinx
=cos2x-sin2x=
2
cos(2x+
π
4
)
∵x∈[0，
π
2
]∴
π
4
≤2x+
π
4
≤
5π
4

当2x+
π
4
=π即x=
3π
8
时f（x）有最小值为-\sqrt{2}．
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已知定义在R上的可导函数y=f（x）对任意x∈R都有f（x）=f（-x），且当x≠0时，有x•f′（x）＜0，现设a=f（-sin32°），b=f（cos32°），则实数a，b的大小关系是
a＞b
a＞b
．

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