Question

如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，PA=AB=1，AD=，点F是PB的中点，点E在边BC上移动，
(1)点E为BC的中点时，试判断EF与平面PAC的位置关系，并说明理由；
(2)求证：无论点E在BC边的何处，都有PE⊥AF；
(3)当BE为何值时，PA与平面PDE所成角的大小为45°。

Answer 1

(1)解：当点E为BC的中点时，EF与平面PAC平行， ∵在△PBC中，E、F分别为BC、PB的中点， ∴EF∥PC， 又EF平面PAC，而PC平面PAC， ∴EF∥平面PAC。
(2)证明：建立如右图所示空间直角坐标系， 则P(0，0，1)，B(0，1，0)，F(0，，)，D(，0，0)， 设BE=x，则E(x，1，0)， ， ∴PE⊥AF。 (3)设平面PDE的法向量为m=(p，q，1)， 由，得， 而=(0，0，1)，依题意PA与平面PDE所成角为45°， 所以sin45°=， ∴， 得BE=x=-或BE=x=+>(舍)． 故BE=-时，PA与平面PDE所成角为45°。