Question

已知三次函数．

（Ⅰ）若函数过点且在点处的切线方程为，求函数的解析式；

       （Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若对于区间上任意两个自变量的值都有，求实数的最小值；

       （Ⅲ）当时，，试求的最大值，并求取得最大值时的表达式．

Answer 1

解析：（Ⅰ）∵函数过点，∴，     ①

又，函数点处的切线方程为，

∴，∴，                             ②

由①和②解得，，，故 ； ----------------------4分

（Ⅱ）由（Ⅰ），令，解得，

∵，，，，

∴在区间上，，

∴对于区间上任意两个自变量的值，，

∴，从而的最小值为20； ---------------------------------8分

（Ⅲ）∵，

则 ，可得．   

∵当时，，∴，，， 

∴，

∴，故的最大值为，

当时，，解得，，

∴取得最大值时．------------------------------14分