Question

判断并证明函数f(x)=

1

1+x2

在（-∞，0）上的单调性．

Answer 1

分析：利用定义判断函数的单调性，先设在所给区间上有任意两个自变量x₁，x₂，且x₁＜x₂，再用作差法比较f（x₁）与
f（x₂）的大小，做差后，应把差的尽可能地分解为几个因式的乘积的形式，通过判断每一个因式的正负，来判断积的正负，最后得出结论．

解答：解：该函数在区间（-∞，0）上是增函数，
证明：设?x₁，x₂∈（-∞，0），且x₁＜x₂，
因为f(x1)-f(x2)=

1

1+ x 2 1

-

1

1+ x 2 2

=

x 2 2 - x 2 1

(1+ x 2 1 )(1+ x 2 2 )

=

(x1+x2)(x2-x1)

(1+ x 2 1 )(1+ x 2 2 )

当x₁＜x₂＜0时，x2-x1＞0，x1+x2＜0，1+

x

2 1

＞0，1+

x

2 2

＞0；
所以f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
故该函数在区间（-∞，0）上是增函数．

点评：本题主要考查了定义法证明函数的单调性，做题时应该严格按照步骤去做．