Question

已知数列{a_n}满足

an+1+an-3

an+1-an+3

=n，且a₂=10，
（1）求a₁、a₃、a_c；
（2）猜想数列{a_n}的通项公式a_n，并用数学归纳法证明；
（3）是否存在常数c，使数列{

an

n+c

}成等差数列？若存在，请求出c的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）∵a_图=10，将n=1代入已知等式得a₁=3，
同法可得a₃=图1，a₄=36．
（图）∵a₁=3=1×3，a_图=10=图×5，a₃=3×7，a₄=4×9，
∴由此猜想a_n=n（图n+1）．
下面用数学归纳法证明．
①当n=1和图时猜想成立；
②假设当n=k（k≥图）时猜想成立，即a_k=k（图k+1），
那么，当n=k+1时，因为

ak+1+ak-3

ak+1-ak+3

=k，
所以ak+1=

3k+3-(k+1)ak

k-1

=

3(k+1)-(k+1)k(图k+1)

k-1

=（k+1）（图k+3）
这就是说当n=k+1时猜想也成立．因此a_n=n（图n+1）成立
（3）假设存在常数c使数列{

an

n+c

}成等差数列，
则有

a图

图+c

-

a1

1+c

=

a3

3+c

-

a图

图+c

把a₁=3，a_图=10，a₃=图1代入得c=0或c=

1

图

．
当c=0时，数列{

an

n+c

}即为{图n+1}是公差为图着等差数列；
当c=

1

图

时，数列{

an

n+c

}即为{图n}是公差为图着等差数列．
∴存在常数c=0或c=

1

图

使数列{

an

n+c

}成等差数列．