Question

（2010•重庆三模）已知函数f（x）=x²-x+1，数列{a_n}满足：a₁=2，a_n+1=f（a_n），其中n∈N^*．
（Ⅰ）证明：1＜a_n＜a_n+1；
（Ⅱ）证明：

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

＜1．

Answer 1

分析：（I）根据a_n+1-a_n=a_n²-a_n+1-a_n=（a_n-1）²≥0 可得a_n+1＞a_n，而a_n≥a₁=2＞1，可得结论；
（II）将a_n+1=a_n²-a_n+1转化成a_n+1-1=a_n（a_n-1），然后利用裂项求和法进行求和，即可证得结论．

解答：（Ⅰ）证明：∵a_n+1-a_n=a_n²-a_n+1-a_n=（a_n-1）²≥0 …2分
∴a_n≥a₁=2＞1，则（a_n-1）²≠0⇒a_n+1＞a_n 所以1＜a_n＜a_n+1 …5分
（Ⅱ）证明：a_n+1=a_n²-a_n+1⇒a_n+1-1=a_n（a_n-1）
所以

1

an+1-1

=

1

an(an-1)

=

1

an-1

-

1

an

…7分
得

1

an

=

1

an-1

-

1

an+1-1

1

an-1

=

1

an-1-1

-

1

an-1

1

a1

=

1

a1-1

-

1

a2-1

所以

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

=(

1

an-1

-

1

an+1-1

)+(

1

an-1-1

-

1

an-1

) +…+(

1

a1-1

-

1

a2-1

) …10分
=

1

a1-1

-

1

an+1-1

=1-

1

an+1-1

＜1…12分

点评：本题主要考查了数列与不等式的综合，同时考查了裂项求和法的运用和计算能力的考查，属于中档题．