Question

已知f(x)=

1-x

+

x+3

（1）求函数f（x）的定义域和值域；
（2）若函数F(x)=f(x)+

1

f(x)

，求函数F（x）的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）根据偶次根式下大于等于0建立不等式组，解之即可求出定义域，将函数平方，利用二次函数的性质可求出该函数的值域；
（2）利用换元法，f（x）=t，t∈[2，2

2

]，则y=g(t)=t+

1

t

，然后利用导数证明该函数的单调性，可求出函数的最值．

解答：解：（1）由

1-x≥0 x+3≥0

得

x≤1 x≥-3

，…（2分）
故定义域为[-3，1]…（3分）
由y=f(x)=

1-x

+

x+3

得：
y2=4+2

-x2-2x+3

=4+2

-(x+1)2+4

∈[4，8]
从而y∈[2，2

2

]，…（7分）
故值域为[2，2

2

]…（8分）
（2）令f（x）=t，t∈[2，2

2

]
下证明：函数y=g(t)=t+

1

t

正区间[2，2

2

]上单调递增
y'=1-

1

t2

当t∈[2，2

2

]时，y′＞0
∴函数y=g(t)=t+

1

t

正区间[2，2

2

]上单调递增
从而F(x)min=g(2)=

5

2

…（14分）
F(x)max=g(2

2

)=

9 2

4

…（16分）

点评：本题主要考查了函数定义域和值域，以及利用导数研究函数的单调性求最值，同时考查了计算能力，属于中档题．