题目内容
已知函数f（x）=ln（1+x）-x，g（x）=xlnx．（Ⅰ）求函数f（x）的最大值；
（Ⅱ）设0＜a＜b，证明0＜g（a）+g（b）-2g（
| a+b | 2 |
分析：（1）先求出函数的定义域，然后对函数进行求导运算，令导函数等于0求出x的值，再判断函数的单调性，进而可求出最大值．
（2）先将a，b代入函数g（x）得到g（a）+g（b）-2g（
）的表达式后进行整理，根据（1）可得到lnx＜x，将ln
、ln
放缩变形为ln
＞-
、ln
＞-
代入即可得到左边不等式成立，再用
＜
根据y=lnx的单调性进行放缩aln
+bln
＜aln
+bln
．然后整理即可证明不等式右边成立．
（2）先将a，b代入函数g（x）得到g（a）+g（b）-2g（
| a+b |
| 2 |
| 2b |
| a+b |
| 2b |
| a+b |
| 2b |
| a+b |
| b-a |
| 2a |
| 2b |
| a+b |
| a-b |
| 2b |
| 2a |
| a+b |
| a+b |
| ab |
| 2a |
| a+b |
| 2b |
| a+b |
| a+b |
| 2b |
| 2b |
| a+b |
解答：（Ⅰ）解：函数f（x）的定义域为（-1，+∞）．
f′(x)=
-1．令f′（x）=0，解得x=0．
当-1＜x＜0时，f′（x）＞0，当x＞0时，f′（x）＜0．又f（0）=0，
故当且仅当x=0时，f（x）取得最大值，最大值为0．
（Ⅱ）证明：g(a)+g(b)-2g(
)=alna+blnb-(a+b)ln
=aln
+bln
．
由（Ⅰ）结论知ln（1+x）-x＜0（x＞-1，且x≠0），
由题设0＜a＜b，得
＞0，-1＜
＜0，
因此ln
=-ln(1+
)＞-
，
ln
=-ln(1+
)＞-
，
所以aln
+bln
＞-
-
=0．
又
＜
，
aln
+bln
＜aln
+bln
．=（b-a）ln
＜（b-a）ln2
综上0＜g(a)+g(b)-2g(
)＜(b-a)ln2．
f′(x)=
| 1 |
| 1+x |
当-1＜x＜0时，f′（x）＞0，当x＞0时，f′（x）＜0．又f（0）=0，
故当且仅当x=0时，f（x）取得最大值，最大值为0．
（Ⅱ）证明：g(a)+g(b)-2g(
| a+b |
| 2 |
| a+b |
| 2 |
=aln
| 2a |
| a+b |
| 2b |
| a+b |
由（Ⅰ）结论知ln（1+x）-x＜0（x＞-1，且x≠0），
由题设0＜a＜b，得
| b-a |
| 2a |
| a-b |
| 2b |
因此ln
| 2b |
| a+b |
| b-a |
| 2a |
| b-a |
| 2a |
ln
| 2b |
| a+b |
| a-b |
| 2b |
| a-b |
| 2b |
所以aln
| 2a |
| a+b |
| 2b |
| a+b |
| b-a |
| 2 |
| a-b |
| 2 |
又
| 2a |
| a+b |
| a+b |
| 2b |
aln
| 2a |
| a+b |
| 2b |
| a+b |
| a+b |
| 2b |
| 2b |
| a+b |
| 2b |
| a+b |
综上0＜g(a)+g(b)-2g(
| a+b |
| 2 |
点评：本题主要考查导数的基本性质和应用、对数函数性质和平均值不等式等知识以及综合推理论证的能力．
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