Question

已知函数f（x）=log_ax（a＞0，a≠1）在区间[2，8]上的最大值比最小值大，求a的值．

Answer 1

解：①当a＞1 时，f（x）=log_ax 在（0，+∞）上为增函数，
∴在[2，8]上函数f（x）的最小值，最大值分别为f（x）min=f（2），f（x）_max=f（8）
∵在区间[2，8]上的最大值比最小值大，
∴f（8）-f（2）=log_a8-log_a2=
解得a=16
②当0＜a＜1 时，f（x）=log_ax 在（0，+∞）上为减函数，
∴在[2，8]上函数f（x） 的最小值、最大值分别为f（x）min=f（8），f（x）_max=f（2）
∵在区间[2，8]上的最大值比最小值大，
∴f（2）-f（8）=log_a2-log_a8=
解得a=
综上所述a=16或
分析：对字母a进行讨论，①a＞1时，原函数在[2，8]为单调增函数，在根据最大值与最小值的差为，即可列出关于a的方程即可求解②0＜a＜1 时，原函数在[2，8]为单调减函数，在根据最大值与最小值的差为，即可列出关于a的方程即可求解所求．
点评：本题主要考查了对数函数的单调性，要注意对a的进行讨论，同时考查了运算求解的能力，属于基础题．