题目内容

已知函数f（x）=kx+b的图象与x，y轴分别相交于点A、B，
AB
=2
i
+2
j
（
i
，
j
分别是与x，y轴正半轴同方向的单位向量），函数g（x）=x2-x-6．
（1）求k，b的值；
（2）当x满足f（x）＞g（x）时，求函数
g(x)+1
f(x)
的最小值．
分析：（1）观察题设条件，可先求出f（x）=kx+b的图象与x，y轴交点A、B的坐标，表示出向量AB的坐标，即可与
AB
=（2，2）建立相关的方程，解方程求出k，b的值．
（2）由f（x）＞g（x）解出x的取值范围，再对
g(x)+1
f(x)
化简，因其形式中出现了积为定值的形式，故可以用基本不等式求最值，此时注意验证等号成立的条件．
解答：解：（1）由已知得A（-
b
k
，0），B（0，b），则
AB
={
b
k
，b}，
于是
b
k
=2，b=2、∴k=1，b=2．
（2）由f（x）＞g（x），得x+2＞x2-x-6，
即（x+2）（x-4）＜0，得-2＜x＜4，
由
g(x)+1
f(x)
=
x2-x-5
x+2
=x+2+
1
x+2
-5
由于x+2＞0，则
g(x)+1
f(x)
≥-3，其中等号当且仅当x+2=1，即x=-1时成立
∴
g(x)+1
f(x)
的最小值是-3．
点评：本题考查向量的相等的条件及用基本不等式求最值，用基本不等式求最值时要注意验证等号成立的条件与相关因子的符号．
练习册系列答案
相关题目
已知函数f（x）=k[（logax）2+（logxa）2]-（logax）3-（logxa）3，（其中a＞1），g（x）=x2-2bx+4，设t=logax+logxa．
（Ⅰ）当x∈（1，a）∪（a，+∞）时，将f（x）表示成t的函数h（t），并探究函数h（t）是否有极值；
（Ⅱ）当k=4时，若对?x1∈（1，+∞），?x2∈[1，2]，使f（x1）≤g（x2），试求实数b的取值范围．．
已知函数f（x）=
k+1x
（k＜0），求使得f（x+k）＞1成立的x的集合．
已知函数f（x）=k•a-x（k，a为常数，a＞0且a≠1）的图象过点A（0，1），B（3，8）．
（1）求实数k，a的值；
（2）若函数g(x)=
f(x)-1f(x)+1
，试判断函数g（x）的奇偶性，并说明理由．
（2012•芜湖二模）给出以下五个命题：
①命题“?x∈R，x2+x+1＞0”的否定是：“?x∈R，x2+x+1＜0”．
②已知函数f（x）=k•cosx的图象经过点P（
π
3
，1），则函数图象上过点P的切线斜率等于-
3

③a=1是直线y=ax+1和直线y=（a-2）x-1垂直的充要条件．
④函数f(x)=(
1
2
)x-x
1
3
在区间（0，1）上存在零点．
⑤已知向量
a
=(1，-2)与向量
b
=(1，m)的夹角为锐角，那么实数m的取值范围是（-∞，
1
2
）
其中正确命题的序号是
②③④
②③④
．
（已知函数f（x）=k[（logax）2+（logxa）2]-（logax）3-（logxa）3，（其中a＞1），g（x）=x2-2bx+4，设t=logax+logxa．
（Ⅰ）当x∈（1，a）∪（a，+∞）时，试将f（x）表示成t的函数h（t），并探究函数h（t）是否有极值；
（Ⅱ）当k=4时，若对任意的x1∈（1，+∞），存在x2∈[1，2]，使f（x1）≤g（x2），试求实数b的取值范围．．

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