Question

如图，P是双曲线上的动点，F₁、F₂是双曲线的左右焦点，M是∠F₁PF₂的平分线上一点，且F₂M⊥MP．某同学用以下方法研究|OM|：延长F₂M交PF₁于点N，可知△PNF₂为等腰三角形，且M为F₂N的中点，得．类似地：P是椭圆上的动点，F₁、F₂是椭圆的左右焦点，M是∠F₁PF₂的平分线上一点，且F₂M⊥MP，则|OM|的取值范围是________．

Answer 1

（0，c）
分析：类比双曲线中的研究方法，结合椭圆的定义，即可确定|OM|的取值范围．
解答：延长F₂M交PF₁于点N，可知△PNF₂为等腰三角形，且M为F₂N的中点，得
∵|PF₁|+|PF₂|=2a
∴|OM|=a-|PF₂|
∵a-c≤|PF₂|≤a+c
∵P、F₁、F₂三点不共线
∴0＜a-|PF₂|＜c
∴0＜|OM|＜c
故答案为：（0，c）．
点评：本题考查类比推理，考查椭圆的定义，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．