Question

17.如图，四棱锥S—ABCD的底面是边长为1的正方形，SD垂直于底面ABCD，SB=.

　　（Ⅰ）求证BC⊥SC；

　　（Ⅱ）求面ASD与面BSC所成二面角的大小；

　　（Ⅲ）设棱SA的中点为M，求异面直线DM与SB所成角的大小.

Answer 1

17.本小题主要考查直线与平面的位置关系等基本知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力..

　　（Ⅰ）证法一：如图1，

图1

　　　　　　　　　∵底面ABCD是正方形，

∴BC⊥DC.

∵SD⊥底面ABCD，

∴DC是SC在平面ABCD上的射影，由三垂线定理得BC⊥SC.

证法二：如图1，

　　　　　　　∵底面ABCD是正方形，

∴BC⊥DC.

∵SD⊥底面ABCD，

∴SD⊥BC，又DC∩SD=D,

∴BC⊥平面SDC，

∴BC⊥SC.

（Ⅱ）解法一：

　　　　　　　∵SD⊥底面ABCD，且ABCD为正方形，

∴可以把四棱锥S－ABCD补形为长方体A₁B₁C₁S—ABCD，如图2.

图2

面ASD与面BSC所成的二面角就是面ADSA₁与面BCSA₁所成的二面角.

∵SC⊥BC,BC∥A₁S，

∴SC⊥A₁S，

又SD⊥A₁S，

∴∠CSD为所求二面角的平面角.

在Rt△SCB中，由勾股定理得SC=，

在Rt△SDC中，由勾股定理得SD=1.

∴∠CSD=45°.

即面ASD与面BSC所成二面角的大小为45°.

　　　　　解法二：如图3，

图3

　　　　　　　　　过点S作直线l∥AD,

  　　　　　　　　∴l在面ASD上，

∵底面ABCD为正方形，

∴l∥AD∥BC，

∴l在面BSC上，

∴l为面ASD与面BSC的交线.

∵SD⊥AD,BC⊥SC,

∴l⊥SD,l⊥SC,

∴∠CSD为面ASD与面BSC所成二面角的平面角.

（以下同解法一）

（Ⅲ）解法一：如图3，

　　　　　　　∵SD=AD=1,∠SDA=90°,

∴△SDA是等腰直角三角形.

又M是斜边SA的中点，

∴DM⊥SA.

∵BA⊥AD,BA⊥SD,AD∩SD=D,

∴BA⊥面ASD，SA是SB在面ASD上的射影.

由三垂线定理得DM⊥SB.

∴异面直线DM与SB所成的角为90°.

　　  解法二：如图4，

图4

　　　　　　　　取AB中点P，连结MP，DP.

　　　　　　　　在△ABS中，由中位线定理得

　　　　　　　　MP∥SB，

　　　　　　　　∴∠DMP是异面直线DM与SB所成的角.

∵MP=SB=,

又DM=,DP==,

∴在△DMP中，有DP²=MP²+DM²,

∴∠DMP=90°.

∴异面直线DM与SB所成的角为90°.