Question

已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为2，P、Q分别是BC、CD上的动点，且|PQ|=

2

，建立如图所示的坐标系．
（1）确定P、Q的位置，使得B₁Q⊥D₁P；
（2）当B₁Q⊥D₁P时，求二面角C₁-PQ-A的大小．

Answer 1

分析：（1）设BP=t，求出CQ，DQ，P（2，t，0），利用

QB1

•

PD1

=0，解得t=1．推出P、Q分别是棱BC、CD的中点，即P、Q分别是棱BC、CD的中点时，B₁Q⊥D₁P；
（2）当B₁Q⊥D₁P时，由（1）知P、Q分别是棱BC、CD的中点．推出AC⊥PQ．设AC与PQ的交点为E，连接C₁E．说明∠C₁EC是二面角C₁-PQ-C的平面角，∠C₁EA是二面角C₁-PQ-A的平面角．在Rt△C₁EC中，求出二面角C₁-PQ-A的大小是π-arctan2

2

．

解答：解：（1）设BP=t，则
CQ=

2-(2-t)2

，DQ=2-

2-(2-t)2

．
∴B₁（2，0，2），D₁（0，2，2），P（2，t，0），Q（2-

2-(2-t)2

，2，0），
∴

QB1

=（

2-(2-t)2

，-2，2），

PD1

=（-2，2-t，2）．
∵B₁Q⊥D₁P等价于

QB1

•

PD1

=0，
即-2

2-(2-t)2

-2（2-t）+2×2=0，
整理得

2-(2-t)2

=t，解得t=1．
此时，P、Q分别是棱BC、CD的中点，即P、Q分别是棱BC、CD的中点时，
B₁Q⊥D₁P；

（2）当B₁Q⊥D₁P时，由（1）知P、Q分别是棱BC、CD的中点．
在正方形ABCD中，PQ∥BD，且AC⊥BD，故AC⊥PQ．
设AC与PQ的交点为E，连接C₁E．
∵在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，CC₁⊥底面ABCD，CE是C₁E在底面ABCD内的射影，∴C₁E⊥PQ，
即∠C₁EC是二面角C₁-PQ-C的平面角，∠C₁EA是二面角C₁-PQ-A的平面角．
在正方形ABCD中，CE=

2

2

，
在Rt△C₁EC中，tan∠C₁EC=

2

2 2

=2

2

，
∴∠C₁EC=arctan2

2

，
∠C₁EA=π-arctan2

2

．
∴二面角C₁-PQ-A的大小是π-arctan2

2

．

点评：本题考查直线与平面垂直的判定，以及与二面角相关的立体几何问题综合运用．通过数形结合，以及对知识的综合考查，达到考查学生基本能力的目的，属于中档题．